Question

8．指出函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+5}{{x}^{2}+4x+4}$的单调区间，并比较f（-π）与f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）的大小．

Answer 1

分析 利用分式函数的性质，进行比较即可．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+5}{{x}^{2}+4x+4}$=$\frac{{x}^{2}+4x+4+1}{{x}^{2}+4x+4}$=1+$\frac{1}{{x}^{2}+4x+4}$=1+$\frac{1}{（x+2）^{2}}$，
则x≠-2，
设t=（x+2）²，则y=1+$\frac{1}{t}$则（0，+∞）上为减函数，
当x＞-2时，函数t=（x+2）²，为增函数，则函数f（x）为减函数，则此时函数单调递减区间为（-2，+∞），
当x＜-2时，函数t=（x+2）²，为减函数，则函数f（x）为增函数，则此时函数单调递增区间为（-∞，-2），
则f（-π）=1+$\frac{1}{（2-π）^{2}}$=1+$\frac{1}{（π-2）^{2}}$，f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\frac{1}{（2-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$，
∵π-2＞2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
∴f（-π）＜f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据复合函数单调性的关系以及分式函数的单调性的性质是解决本题的关键．