Question

16．某工厂统计资料显示，该厂生产的某种产品次品率p与日产量x（千克）（x∈N，且11≤x≤100）的关系如表，

x	11	12	13	14	…	99	100
p	$\frac{2}{97}$	$\frac{1}{48}$	$\frac{2}{95}$	$\frac{1}{47}$	…	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{4}$

且已知每生产1千克正品盈利a元，每生产1千克次品损失$\frac{a}{2}$元（a＞0）．
（1）写出生产该产品的日盈利额T（元）表示为日产量x的一个函数关系式；
（2）为了获得最大盈利，该厂生产该产品的日产量应定为多少千克？

Answer 1

分析 （1）根据表格，先确定p=$\frac{2}{108-x}$，x中次品有xp，正品有（x-xp），进而可得该厂日盈利额T关于日产量x的函数；
（2）利用基本不等式可确定函数的最值．

解答 解：（1）由题意知 p=$\frac{2}{108-x}$，x中次品有xp，正品有（x-xp）
所以该厂日盈利额T=a（x-xp）-$\frac{a}{2}$xp=a（x-$\frac{3p}{2}$x）=a（x-$\frac{3x}{108-x}$），（11≤x≤100，x∈N^*）
（2）T=a（x-$\frac{3x}{108-x}$）=a[x-$\frac{3（x-108）+324}{108-x}$]=a（x+3-$\frac{324}{108-x}$）
=a（x-108+105-$\frac{324}{108-x}$）
=a[-（108-x）-$\frac{324}{108-x}$）+105]≤a[105+2$\sqrt{-（108-x）•（-\frac{324}{108-x}}）$]=a（105+36）=141a
当且仅当-（108-x）=-$\frac{324}{108-x}$），即x=90，取等号
∵11≤x≤100，
∴x=90时，该厂盈利最大．
即为了获得最大盈利，该厂生产该产品的日产量应定为90千克．

点评 本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，确定函数模型是关键．