【题目】过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .
(1) 证明: 为定值;
(2) 记△的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.
【答案】(I)详见解析;(II)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)对 求导,得到直线的斜率为 ,进一步得到直线的方程为. 将点点代入直线方程,整理得.
同理, . 又, 所以为定值.
(Ⅱ)由题意可得)直线的垂直平分线方程为. ①
同理直线的垂直平分线方程为. ②
由①②解得点. 又 抛物线的焦点为 则由, 可得 所以以为直径的圆恒过点
试题解析:
(Ⅰ) 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为.
因为点和在抛物线上, 所以,.
所以直线的方程为.
因为点在直线上,
所以,即.
同理, .
所以是方程的两个根.
所以.
又,
所以为定值.
法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为,
由消去得,
由, 化简得.
所以.
由,得,所以.
所以直线的斜率为,直线的斜率为.
所以, 即.
又,
所以为定值.
(Ⅱ) 法1:直线的垂直平分线方程为,
由于,,
所以直线的垂直平分线方程为. ①
同理直线的垂直平分线方程为. ②
由①②解得, ,
所以点.
抛物线的焦点为 则
由于,
所以
所以以为直径的圆恒过点
另法: 以为直径的圆的方程为
把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.
所以以为直径的圆恒过点
法2:设点的坐标为,
则△的外接圆方程为,
由于点在该圆上,
则,
.
两式相减得, ①
由(Ⅰ)知,代入上式得
,
当时, 得, ②
假设以为直径的圆恒过点,则即,
得, ③
由②③解得,
所以点.
当时, 则,点.
所以以为直径的圆恒过点
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【题目】如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止,点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(其中曲线OG为抛物线的一部分,其余各部分均为线段),则下列结论:①;②当时, ;③;④当秒时, ∽;⑤当的面积为时,时间的值是或;其中正确的结论是( )
A. ①⑤ B. ②⑤ C. ②③ D. ②④
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【题目】为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员名,其中种子选手名;乙协会的运动员名,其中种子选手名.从这名运动员中随机选择人参加比赛.
(1)设为事件“选出的人中恰有名种子选手,且这名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率;
(2)设为选出的人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】如图,已知底角为的等腰梯形,底边长为12,腰长为,当一条垂直于底边 (垂足为)的直线从左至右移动(与梯形有公共点)时,直线把梯形分成两部分.
(1)令,试写出直线右边部分的面积与的函数解析式;
(2)在(1)的条件下,令.构造函数
①判断函数在上的单调性;
②判断函数在定义域内是否具有单调性,并说明理由.
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【题目】四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,E,F分别为AC和PB上的点,它的直观图,正视图,侧视图如图所示.
(1)求EF与平面ABCD所成角的大小;
(2)求二面角B-PA-C的大小.
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【题目】共享单车是城市慢行系统的一种模式创新,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数,其中 是新样式单车的月产量(单位:件),利润总收益总成本.
(1)试将自行车厂的利润元表示为月产量的函数;
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】某市为了制定合理的节电方案,供电局对居民用电进行了调查,通过抽样,获得了某年200户居民每户的月均用电量(单位:度),将数据按照, , , , , , , , 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中的值并估计居民月均用电量的中位数;
(Ⅱ)现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问,则两组中各有一户被选中的概率.
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【题目】将圆上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得曲线C.
(Ⅰ)写出C的参数方程;
(Ⅱ)设直线l: 与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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