Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点(n，

Sn

n

)都在函数f(x)=x+

an

2x

的图象上．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表达式，并证明；
（Ⅱ）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；（直接写出结果）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据点(n，

Sn

n

)在函数f(x)=x+

an

2x

的图象上，可得

Sn

n

=n+

an

2n

，所以Sn=n2+

1

2

an．令n=1，2，3，再猜想：a_n=2n．利用数学归纳法证明，关键注意第二步：假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a_k=2k成立，则当n=k+1时，利用归纳假设进行证明；
（Ⅱ）a_n=2n（n∈N^*），b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）因为点(n，

Sn

n

)在函数f(x)=x+

an

2x

的图象上，所以

Sn

n

=n+

an

2n

，所以Sn=n2+

1

2

an．
令n=1，得a1=1+

1

2

a1，所以a₁=2；
令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，所以a₂=4；
令n=3，得a1+a2+a3=9+

1

2

a3，所以a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．（3分）
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．
②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a_k=2k成立，
则当n=k+1时，注意到Sn=n2+

1

2

an（n∈N^*），
故Sk+1=(k+1)2+

1

2

ak+1，Sk=k2+

1

2

ak．
两式相减，得ak+1=2k+1+

1

2

ak+1-

1

2

ak，所以a_k+1=4k+2-a_k．
由归纳假设得，a_k=2k，
故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）．
这说明n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N^*，a_n=2n成立． （8分）
（Ⅱ）因为a_n=2n（n∈N^*），所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以 b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010． （12分）

点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查数学归纳法，考查规律的探索，解题的关键是先猜想后证明，由特殊到一般，属于中档题．