Question

已知函数，

(1)证明：当；

(2)证明：当时，存在,使得对

(3)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有.

Answer 1

解法一：(1)令则有

当 ,所以在上单调递减,

故当.

(2)令则有

当 ,所以在上单调递增,

故对任意正实数均满足题意.

当.

取,所以在上单调递增, ,即.

综上，当时，总存在,使得对任意的.

(3)当时，由（1）知，对于，

，

令，则有

故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.

当时，由（2）知存在,使得对任意的.

此时,

令，则有

故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，

则当，故满足题意的t不存在.

当，由（1）知，，

令，则有

当时，,所以在上单调递减，故,

故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.

综上，.

解法二：（1）（2）同解法一.

（3）当时，由（1）知，对于，

故，

令，

从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.

当时，取

由（2）知存在,使得.

此时,

令，此时 ,

记与中较小的为，则当，

故满足题意的t不存在.

当，由（1）知，，

令，则有

当时，,所以在上单调递减，故,

故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.

综上，.