【题目】已知函数 (x∈R).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)①判断函数f(x)的奇偶性;②用定义判断函数f(x)的单调性;
(3)解不等式f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0.
【答案】
(1)解:∵ ,
又2x>0,∴﹣1<y<1
∴函数f(x)的值域为(﹣1,1)
(2)解:明:①∵ ,
∴函数f(x)为奇函数
② =
在定义域中任取两个实数x1,x2,且x1<x2,
则
∵x1<x2,∴0< ,
从而f(x1)﹣f(x2)<0
∴函数f(x)在R上为单调增函数
(3)解:由(2)得函数f(x)为奇函数,在R上为单调增函数
∴f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0即f(1﹣m)<﹣f(1﹣m2),
∴f(1﹣m)<f(m2﹣1),1﹣m<m2﹣1
∴原不等式的解集为(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
【解析】(1)先由原函数式反解出2x , 再利用2x的取值范围建立关于y的不等关系,解不等式即可;(2)分别利用函数奇偶性和单调性的定义求解即可,对于奇偶性的判断,只须考虑f(﹣x)与f(x)的关系即得;对于单调性的证明,先在定义域中任取两个实数x1 , x2 , 且x1<x2 , 再比较f(x1)﹣f(x2)即可;(3)先依据函数y=f(x)在R上单调性化掉符号:“f”,将问题转化为关于m的整式不等式,再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范围.
【考点精析】利用函数的值域和函数单调性的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的;函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
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【题目】如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E.求证:
(1)△ABC≌△DCB;
(2)DEDC=AEBD.
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【题目】已知点,点
是直线
上的动点,过
作直线
,
,线段
的垂直平分线与
交于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)若点是直线
上两个不同的点,且
的内切圆方程为
,直线
的斜率为
,求
的取值范围.
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【题目】已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为 .
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【题目】《太阳的后裔》是第一部中国与韩国同步播出的韩剧,爱奇艺视频网站在某大学随机调查了110名学生,得到如表列联表:由表中数据算得K2的观测值k≈7.8,因此得到的正确结论是( )
女 | 男 | 总计 | |
喜欢 | 40 | 20 | 60 |
不喜欢 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
(K2≥k) | 0.100 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
附表:K2= .
A.有99%以上的把握认为“喜欢该电视剧与性别无关”
B.有99%以上的把握认为“喜欢该电视剧与性别有关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
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【题目】定义:在平面内,点到曲线
上的点的距离的最小值称为点
到曲线
的距离,在平面直角坐标系
中,已知圆
:
及点
,动点
到圆
的距离与到
点的距离相等,记
点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过原点的直线(
不与坐标轴重合)与曲线
交于不同的两点
,点
在曲线
上,且
,直线
与
轴交于点
,设直线
的斜率分别为
,求
.
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