Question

已知点A（-1，2），B（0，1），动点P满足|PA|=

2

|PB|．
（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
（Ⅱ）若点Q在直线l₁：3x-4y+12=0上，直线l₂经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

Answer 1

分析：1）设P点的坐标为（x，y），利用点A（-1，2），B（0，1），动点P满足|PA|=

2

|PB|，建立方程，整理即得点P的轨迹方程；
（2）结合题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，利用勾股定理，求出|QM|就是最小值．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则
∵点A（-1，2），B（0，1），动点P满足|PA|=

2

|PB|，
∴

(x+1)2+(y-2)2

=

2

•

x2+(y-1)2

，
∴化简（x-1）²+y²=4；
（Ⅱ）由题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，此时d=

|3-0+12|

32+(-4)2

=3，
∴由勾股定理可得|QM|的最小值为

32-4

=

5

．

点评：本题考查两点间距离公式及圆的性质，着重考查直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题．