Question

【题目】如图，四边形 是等腰梯形， ， ， ，在梯形 中， ，且 ， 平面 .

（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求 的长.

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知 ，所以 ，

又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，

又因为 ，所以 平面 .

（2）解：因为 平面 ，又由(1)知 ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .

设 ，则 ， ， ， ， ， .

设平面 的法向量为 ，则故

令 ，所以 .

又平面 的一个法向量 ，所以 ，解得 .

所以 的长为 .

【解析】对于（1），要证明线面垂直，根据判定定理，在平面内找到两条相交直线与所证直线垂直即可.
对于（2）涉及到二面角时，如果二面角的平面角不明显时，往往建立合适空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角来体现二面角，从而解决问题.