【题目】已知函数 (
)
(1)若曲线 在点
处的切线经过点
,求
的值;
(2)若 在
内存在极值,求
的取值范围;
(3)当 时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】
(1)解: .
,
.
因为 在
处的切线过
,所以
.
(2)解: 在
内有解且
在
内有正有负.
令 .
由 ,得
在
内单调递减,
所以 .
(3)解:因为 时
恒成立,所以
.
令 ,则
.
令 ,由
,得
在
内单调递减,又
,
所以 时
,即
,
单调递增,
时
,
即 ,
单调递减.所以
在
内单调递增,
在 内单调递减,所以
.所以
.
【解析】(1)考察了曲线切线的斜率与导数的关系
(2)考察了极值与导数的关系,以及函数零点的存在性定理;f ( x ) 在 ( 1 , 2 ) 内存在极值,等价于 f ′ ( x ) = 0 在 ( 1 , 2 ) 内有解且f ′ ( x )在 ( 1 , 2 ) 内有正有负,及结合f ′ ( x )的导函数,判断f ′ ( x )是单调减函数,因此运用函数零点存在性定理,只要g(1)>0 ,g(2)<0即可;
(3)考察函数含参恒成立问题的一般解法,分离参数法,进而利用函数单调性求最值。
注意第三问是证明恒成立问题,首先分离参数,可得a > ,构造函数 h ( x ) =
,只要a大于h(x)得最大值,再利用导数确定h(x)的单调性,注意一次求导不可得,再求一次,即可确定h(x)得单调性,即可
【考点精析】解答此题的关键在于理解导数的几何意义的相关知识,掌握通过图像,我们可以看出当点趋近于
时,直线
与曲线相切.容易知道,割线
的斜率是
,当点
趋近于
时,函数
在
处的导数就是切线PT的斜率k,即
,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
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【题目】
已知等差数列,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前
项和为
,求
;
(3)是否存在正整数,使得
仍为数列
中的项,若存在,求出所有满足的正整数
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】(2015·上海)设z1, z2C, ,则“z1, z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
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【题目】下列命题正确的是( )
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件
C.命题“若x<﹣1,则x2﹣2x﹣3>0”的否定为:“若x≥﹣1,则x2﹣2x﹣3≤0”
D.已知命题 p:x∈R,x2+x﹣1<0,则p:x∈R,x2+x﹣1≥0
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【题目】《九章算术》有如下问题:有上禾三秉(古代容量单位),中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾一秉各几何?依上文:设上、中、下禾一秉分别为x斗、y斗、z斗,设计如图所示的程序框图,则输出的x,y,z的值分别为( )
A.
B.
C.
D.
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