Question

已知定义域为R的函数是奇函数．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）判断的单调性并证明；

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）在R上为减函数,证明详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）思路一、由可求得a的值；

思路二、由于是R上的奇函数，所以，由此也可求得a的值.

（Ⅱ）思路一：根据函数单调性的定义证明；思路二：利用导数证明.

（Ⅲ）因是奇函数，从而不等式等价于

在R上为减函数，由上式得：解此不等式即可.

试题解析：（I）法一、函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，

即，故．

法二、由是R上的奇函数，所以，故．

再由，

通过验证来确定的合理性              4分

（Ⅱ）由（1）知

由上式易知在R上为减函数.

证明：法一、由（1）知

设，则，

所以，所以在R上为减函数.               8分

法二、由（1）知

求导得：，所以在R上为减函数.           8分

（Ⅲ）又因是奇函数，从而不等式等价于

在R上为减函数，由上式得：

即对一切

从而              12分

考点：1、函数的单调性和奇偶性；2、不等关系.