Question

17．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求四面体E-BGC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理进行判断即可．
（2）根据二面角的定义，作出二面角的平面角，进行求解即可．
（3）根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 解：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连接FH，则FH∥=$\frac{1}{2}$ED，
∴FH∥=AB，∴四边形ABFH是平行四边形，
∴BF∥AH，
由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，
∴BF∥平面ACD；…（4分）
（2）将EB，DA分别延长相较于点M，连接MC
可证得△DCF，△ECF均为直角三角形，且DC⊥CF，EC⊥CF
∴∠ECD即为所求二面角的平面角
在Rt△CDE中，$CD=DE=2，CE=2\sqrt{2}$
∴∠ECD=45°
（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C-BGE，由ED⊥平面ACD，
∴平面ABED⊥平面ACD，又CG⊥AD，
∴CG⊥平面ABED，
则${V_{E-BGC}}={V_{C-BGE}}=\frac{1}{3}{S_{△BGE}}×GC=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查线面平行，二面角的求解以及空间几何体的体积的计算，利用二面角平面角的定义以及三棱锥的体积公式进行转化是解决本题的关键．综合性较强．