Question

已知在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分别是AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）求证PA∥平面BEF；
（Ⅲ）若PB=AD，求二面角F-BE-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面PBE，只需证明BE⊥AD，PE⊥AD；
（Ⅱ）证明PA∥平面BEF，只需证明FG∥PA；
（Ⅲ）取CD中点H，连接FH，GH，可知∠FGH为二面角F-BE-C的平面角，即可求二面角F-BE-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：由已知得ED∥BC，ED=BC，
故BCDE是平行四边形，所以BE∥CD，BE=CD，
因为AD⊥CD，所以BE⊥AD，
由PA=PD及E是AD的中点，得PE⊥AD，
又因为BE∩PE=E，所以AD⊥平面PBE．
（Ⅱ）证明：连接AC交EB于G，再连接FG，
由E是AD的中点及BE∥CD，知G是BF的中点，

又F是PC的中点，故FG∥PA，
又因为FG?平面BEF，PA?平面BEF，
所以PA∥平面BEF．
（Ⅲ）解：设PA=PD=AD=2BC=2CD=2a，
则PF=

3

a，又PB=AD=2a，EB=CD=a，
故PB²=PE²+BE²即PE⊥BE，
又因为BE⊥AD，AD∩PE=E，
所以BE⊥平面PAD，得BE⊥PA，故BE⊥FG，
取CD中点H，连接FH，GH，可知GH∥AD，因此GH⊥BE，
综上可知∠FGH为二面角F-BE-C的平面角．
可知FG=

1

2

PA=a，FH=

1

2

PD=a，GH=

1

2

AD=a，
故∠FGH=60°，所以二面角F-BE-C等于60°．

点评：本题考查线面垂直、线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出面面角．