Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长2的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为

3

，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求点A到平面A₁BD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结DM，证明MD∥B₁C，即可证明B₁C∥平面A₁BD；
（2）利用V_A1-BDA=V_A-A1BD，求点A到平面A₁BD的距离．

解答： （1）证明：连结DM，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，
∴四边形AA₁B₁B是矩形，
∴M为A₁B的中点．
∵D是AC的中点，∴MD是三角形AB₁C的中位线，
∴MD∥B₁C．
∵MD?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）解：设点A到平面A₁BD的距离为h，
∵AA₁⊥平面ABC，BD=

3

，
∴A₁D=2，A₁B=

7

，
∴A₁D⊥BD，
∴S_△A1BD=

1

2

BD•A1D=

3

，
由V_A1-BDA=V_A-A1BD得h=

1 2 × 3 × 3

3

=

3

2

．

点评：此题重点考查了线面平行的判定定理，考查了点A到平面A₁BD的距离，及学生的空间想象能力及计算能力．