Question

设A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α，∠PBA=β，∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距、离心率．求：
（1）|PA|；
（2）tanα•tanβ；
（3）S_△PAB．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由正弦定理可得|PA|；
（2）设P（x，y），则tanα•tanβ=

y

x+a

•

y

a-x

=

y2

a2-x2

，可得结论；
（3）S_△PAB=

1

2

×2a×

2asinβ

sinγ

×sinα，可得结论．

解答： 解：（1）由正弦定理可得|PA|=

2asinβ

sinγ

；
（2）设P（x，y），则利用椭圆的定义可得tanα•tanβ=

y

x+a

•

y

a-x

=

y2

a2-x2

=

b2

a2

；
（3）由三角形的面积公式可得S_△PAB=

1

2

×2a×

2asinβ

sinγ

×sinα=

a2sinαsinβ

sinγ

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．