Question

【题目】如图，在直棱柱中，是BC的中点,点E在棱上运动.

(1)证明 ；

(2)当时，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；

（2）根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1＝60°，利用余弦的定义算出C1E＝2A1C1＝2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1﹣A1B1E的体积．

（1）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥BB1

∵△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC

又∵BC、BB1平面BB1C1C，BC∩BB1＝B

∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；

（2）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，

∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角

∵∠BAC＝∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1，

又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，

∴结合A1B1∩AA1＝A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，

∵A1E平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E

因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1＝60°，可得cos∠EC1A1，得C1E＝2A1C1＝2

又∵B1C12，∴B1E2

由此可得S△A1C1.