Question

【题目】已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）设出A、P点坐标，用P点坐标表示A点坐标，然后代入圆方程，从而求出P点的轨迹；

（2）设出P点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出面积的值，当斜率存在时，利用点P坐标表示的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.

解：（1） 设，

由题意得：，

由，可得点是的中点，

故，

所以，

又因为点在圆上，

所以得，

故动点的轨迹方程为.

（2）设，则，且，

当时，，此时；

当时，

因为,

即

故，

，

，

①，

代入①

设

因为恒成立，

在上是减函数，

当时有最小值，即,

综上：的最小值为