Question

【题目】函数.

（1）根据不同取值，讨论函数的奇偶性；

（2）若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若已知，. 设函数，，存在、，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）分和两种情况讨论，结合奇偶性的定义得出函数的奇偶性；

（2）满足不等式，在时，可得出，可得出不等式对任意的恒成立，然后利用参变量分离法得出，利用函数单调性分别求出函数和在区间上的最大值和最小值，即可得出实数的取值范围；

（3）由题意知，当时，，将代入函数的解析式，求出该函数的最小值，利用复合函数法求出函数在区间上的最大值，然后解不等式，即可得出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，关于原点对称.

当时，，，

此时，函数为奇函数；

当时，，，，

则，，此时，函数为非奇非偶函数；

（2）当时，则有恒成立，此时；

当时，由，即，即，

，，则，所以，不等式对任意的恒成立，

由，即，，即.

函数在区间上单调递增，，

函数在区间上单调递减，则，.

因此，实数的取值范围是；

（3）由题意知，当时，，

当时，.

当时，，

此时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，

且，，则；

当时，，

此时，函数在区间上单调递增，则.

所以，函数在区间上的最小值为.

对于函数，

内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

外层函数是减函数，

所以，，

由题意得，则有，解得.

因此，实数的取值范围是.