Question

【题目】已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，……，如此下去，一般地，过作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，设点.

（1）指出，并求与的关系式；

（2）求的通项公式，并指出点列，，……，，……向哪一点无限接近？说明理由；

（3）令，数列的前项和为，设，求所有可能的乘积的和.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；向点无限接近；（3）.

【解析】

（1）设点，则点，利用曲线的相交关系，联立方程组求解，即可得出结果；

（2）先由（1）的结果，得到，推出，再由累加法，即可求出通项公式；求数列的极限，结合双曲线的方程，即可求出无限接近的点；

（3）先由（2）得到，求出，利用矩阵研究，根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法，即可求出结果.

（1）由题意得，，设点，则点，

由题意得，所以；

（2）分别用、代换中的，得

，解得：，

所以，，，…，，

以上各式相加得：，

又，所以，；

因为，由代入可得：；

所以点列，，……，，……向点无限接近；

（3）因为，所以其前项和，

因此，，

将所得的积排成如下矩阵：，

设矩阵的各项和为.

在矩阵的左下方补上相应的数可得：，

矩阵中第一行的各数和，

矩阵中第二行的各数和，

……

矩阵中第行的各数和，

从而矩阵中所有数之和为

；

因此，所有可能的乘积的和为：

.