Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

sinC

cosAsinB

=

2c

b

．
（1）求角A的大小；
（2）已知，a=

7

3

，△ABC的面积S=

3 3

2

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由已知三角形的面积S，以及sinA的值，利用三角形的面积公式求出bc的值，再由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将bc的值代入求出b²+c²的值，再由ab及b²+c²的值，利用完全平方公式即可求出（b+c）²的值，开方即可求出b+c的值．

解答：解：（1）∵

b

sinB

=

c

sinC

，
∴

sinC

cosAsinB

=

2c

b

变形得：cosA=

1

2

，
又 0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（2）∵A=

π

3

，△ABC的面积S=

3 3

2

，
∴

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3 3

2

，
∴bc=6，
又a=

7

3

，cosA=

1

2

，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²=a²+2bccosA=

7

9

+6=

61

9

，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=

61

9

+12=

169

9

，
则b+c=

13

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．