Question

（本小题满分14分）已知圆C的圆心在坐标原点O，且与直线相切．

（1）求直线被圆C所截得的弦AB的长；

（2）若与直线垂直的直线与圆C交于不同的两点P，Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线的纵截距；

（3）过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线，切点分别为M,N，求直线MN的方程．

 

Answer 1

（1）；（2）2或-2；（3）

【解析】

试题分析：（1）已知得圆的半径为圆心到直线的距离，求得半径r=2，所以圆的标准方程为：；通过半弦长与半径、弦心距的关系求得弦AB长为；（2）由已知可设直线的方程为：，联立圆的方程化简得，得，由根与系数的关系得，又，所以,变形化简得满足，解得b=2或-2；（3）由题意知点M、N在以点为圆心，线段长为半径的圆G上，而，所以，圆G的方程为，与圆C的方程相减得公共弦MN的方程；

试题解析：（1）由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，

，所以圆的标准方程为：

所以圆心到直线的距离

（2）设直线的方程为：联立得：，

设直线与圆的交点，

由，得， （3）

因为，所以,即满足，

又，

所以 （4）

由（3）（4）得，满足，即

（3）因为点,所以,

所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）

又圆方程为： （2），由得直线方程：

考点：直线与圆的位置关系与向量的数量积运算的应用