Question

【题目】如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（Ⅰ）若，求曲线的方程；

（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐进线上；

（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线,若直线过点交曲线于点，求与面积之和的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)和；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).

【解析】

试题分析：（1）由已知条件布列关于的方程组，即可得到曲线的方程；（2）设直线代入，得到，从而可得，所以弦的中点必在曲线的另一条渐进线上；（3）由题意可知：和面积之和等于面积的两倍，利用设而不求法表示，整体换元结合均值不等式即可求得面积的最大值.

试题解析：

（Ⅰ），

则曲线的方程为和

（Ⅱ）曲线的渐近线为，如图，设直线，

则，

设点，则，

，

，即点在直线上.

（Ⅲ）因为的中点为原点，所以和面积之和等于面积的两倍，由（Ⅰ）知，曲线，点，

设直线的方程为，

，

设由韦达定理：，

所以，

到直线距离，

，

令，

，

，当且仅当即时等号成立，

所以时，

与面积之和的最大值为