Question

8．解不等式：
（1）-4＜-$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$＜-2
（2）当a＞0时，解关于x的不等式ax²-（a+1）x+1＜0．

Answer 1

分析 （1）把不等式-4＜-$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$＜-2化为等价的不等式组，求出解集即可；
（2）讨论a＞0时，不等式ax²-（a+1）x+1＜0解集的情况，求出对应的解集即可．

解答 解：（1）不等式-4＜-$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$＜-2可化为
$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{1}{2}x}^{2}-x-\frac{3}{2}＞-4①}\\{-{\frac{1}{2}x}^{2}-x-\frac{3}{2}＜-2②}\end{array}\right.$，
解①得，-1-$\sqrt{6}$＜x＜-1+$\sqrt{6}$；
解②得，x＜-1-$\sqrt{2}$或x＞-1+$\sqrt{2}$；
∴这个不等式的解集为
{x|-1-$\sqrt{6}$＜x＜-1-$\sqrt{2}$，或-1+$\sqrt{2}$＜x＜-1+$\sqrt{6}$}；
（2）a＞0时，不等式ax²-（a+1）x+1＜0可化为（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0；
∴①当a＞1时，$\frac{1}{a}$＜1，原不等式的解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}；
②当0＜a＜1时，$\frac{1}{a}$＞1，原不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
③当a=1时，$\frac{1}{a}$=1，原不等式化为（x-1）²＜0，其解集为∅．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．