Question

20．已知点M是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F是其右焦点，若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{MF}$=0，且$\overrightarrow{PM}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MF}$，当|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{1}{2}$a时，该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由向量的垂直和共线的条件，可得线段OP垂直平分线段MF，设双曲线的左焦点为F'，运用中位线定理和双曲线的定义，结合勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求．

解答 解：若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{MF}$=0，且$\overrightarrow{PM}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MF}$，
可得线段OP垂直平分线段MF，
设双曲线的左焦点为F'，
在△MFF'中，OP为中位线，
则∠FMF'=90°，MF'=2OP=a，
由双曲线的定义，可得MF-MF'=2a，
即有MF=3a，
由勾股定理，可得MF²+MF'²=FF'²，
即为9a²+a²=4c²，
即有c²=$\frac{5}{2}$a²，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选A．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，同时考查向量的共线和垂直的条件，考查平面几何的定理的运用，属于中档题．