Question

5．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），cosα=$\frac{1}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，则cosβ=$\frac{-4-6\sqrt{2}}{15}$．

Answer 1

分析 有条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin （α+β）的值，再利用两角和差的三角公式求得 cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）．
∵cosα=$\frac{1}{3}$∈（0，$\frac{1}{2}$），∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），α+β∈（$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$）．
∵cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴α+β∈（$\frac{7π}{6}$，$\frac{5π}{4}$），
∴sin （α+β）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{3}$+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{-4-6\sqrt{2}}{15}$，
故答案为：$\frac{-4-6\sqrt{2}}{15}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．