Question

11．若x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，则$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}{+x}^{-2}+3}$=$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 由x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，利用完全平方公式可得：x+x^-1=7，x²+x^-2=47，再利用立方和公式即可得出．

解答 解：∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=x+x^-1+2=9，化为x+x^-1=7，
∴（x+x^-1）²=x²+x^-2+2=49，化为x²+x^-2=47，
∴${x}^{\frac{3}{2}}$+${x}^{-\frac{3}{2}}$=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）$（x-1+x^-1）=3×（7-1）=18．
∴原式=$\frac{18+2}{47+3}$=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了乘法公式，考查了计算能力，属于中档题．