已知两个向量$\overrightarrow{a}$=(1+log2x.log2x).$\overrightarrow{b}$=(log2x.1)(1)若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$.求实数x的值,=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$.x∈[$\frac{1}{4}$.2]的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．已知两个向量$\overrightarrow{a}$=（1+log₂x，log₂x），$\overrightarrow{b}$=（log₂x，1）
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求实数x的值；
（2）求函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，x∈[$\frac{1}{4}$，2]的值域．

分析（1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到x的值；
（2）运用向量的数量积的坐标表示，由对数函数的单调性可得t=log₂x[-2，1]，再由二次函数的值域求法，即可得到．

解答解：（1）$\overrightarrow{a}$=（1+log₂x，log₂x），$\overrightarrow{b}$=（log₂x，1），
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则（1+log₂x）•log₂x+log₂x=0，
可得log₂x=0或log₂x=-2，
解得x=1或x=$\frac{1}{4}$；
（2）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（1+log₂x）•log₂x+log₂x
=（log₂x）²+2log₂x，
令t=log₂x，由x∈[$\frac{1}{4}$，2]，可得t∈[-2，1]，
即有函数y=t²+2t=（t+1）²-1，
当t=-1时，函数取得最小值-1；
当t=1时，函数取得最大值3．
则函数f（x）的值域为[-1，3]．

点评本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查可化为二次函数的值域的求法，注意运用对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．

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