Question

9．已知抛物线方程为y²=2p（x+1）（p＞0），直线l：x+y=m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，则p=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由于直线l：x+y=m过抛物线的焦点，得到直线l的方程，再将l的方程代入抛物线方程y²=2p（x+1）（p＞0），消去x，得y²+2py-p²-2p=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系得y₁+y₂，y₁y₂；再由弦长公式|AB|=x₁+x₂+p，可求得|AB|=4p=3，从而求得p的值．

解答 解：由直线l过抛物线的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），得直线l的方程为x+y=$\frac{p}{2}$．
代入抛物线方程为y²=2p（x+1）（p＞0），消去x，得y²+2py-p²-2p=0．
设直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=-2p，y₁y₂=-p²-2p，
∴|AB|=x₁+x₂+p=2p-（y₁+y₂）=4p=3，
解得p=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了抛物线的几何性质以及弦长公式的应用，也考查了一定的计算能力，解题时要灵活运用公式，正确解答．