Question

2．设F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两个焦点，P在双曲线上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2ac（c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$），则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2ac，结合双曲线的定义，确定a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=n，则mn=2ac①，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴m²+n²=4c²②，
∵|m-n|=2a③，
∴由①②③可得c²-ac=a²，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故选：D．

点评 本题重点考查双曲线的性质与定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．