Question

7．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是AB的中点，求DB₁与CM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DB₁与CN所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则M（2，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），B₁（2，2，2），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），$\overrightarrow{CM}$=（2，-1，0），
设DB₁与CM所成角为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{D{B}_{1}}|•|\overrightarrow{CM}|}$|=|$\frac{4-2+0}{\sqrt{12}•\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴DB₁与CM所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．