Question

13．对于任意实数a，b，定义max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$，已知在[-2，2]上的偶函数f（x）满足当0≤x≤2时，f（x）=max{2^x-1，2-x}若方程f（x）-mx+1=0恰有两个根，则m的取值范围是（　　）

• A． [-2，-eln2）∪（eln2，2]
• B． [-eln2，0）∪（0，eln2]
• C． [-2，0）∪（0，2]
• D． [-e，-2）∪（2，e]

Answer 1

分析 根据条件先求出当0≤x≤2时，函数f（x）的解析式，然后根据偶函数的性质求出函数在[-2，2]上解析式，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的相交问题，结合导数的几何意义求出切线斜率进行求解即可．

解答 解：当1≤x≤2时，2^x-1＞2-x，此时f（x）=2^x-1，
当0≤x≤1时，2^x-1＜2-x，此时f（x）=2-x，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-x，}&{0≤x＜1}\\{{2}^{x}-1，}&{1≤x≤2}\end{array}\right.$，
若-2≤x≤-1，则1≤-x≤2，此时f（-x）=2^-x-1，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=2^-x-1，-2≤x≤-1．
若-1≤x≤0，则0≤-x≤1，此时f（-x）=2-x，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=2-x，-1≤x≤0．
作出函数f（x）的图象如图：
由f（x）-mx+1=0得f（x）=mx-1，
设g（x）=mx-1，
则当m=0时，f（x）与g（x）没有交点，此时不满足条件．
当m＞0时，当x=1，f（1）=1，当x=2时，f（2）=3，
当直线经过A（1，1）时，此时m-1=1，则m=2，此时g（x）=2x-1，
g（2）=3，即直线g（x）=2x-1经过A，C点，此时两个曲线有两个交点，满足条件，
当直线y=mx-1与f（x）=2^x-1相切时，
设切点为（k，n），
则f′（k）=2^kln2，且2^k-1=n，
则切线方程为y-n=2^kln2（x-k），
即y=（2^kln2）x-k2^kln2+2^k-1，
即2^kln2=m，且-k2^kln2+2^k-1=-1，
即2^kln2=m，且-k2^kln2+2^k=0，
2^kln2=m，且-kln2+1=0，
即kln2=1，解得k=$\frac{1}{ln2}$=log₂e，
则m=${2}^{lo{g}_{2}e}ln2$=eln2，
此时直线和f（x）只有一个交点，
若时两个曲线有两个交点，则eln2＜m≤2，
根据偶函数的对称性知当m＜0时，-2≤m＜eln2，
综上m的取值范围是[-2，-eln2）∪（eln2，2]，
故选：A

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数与方程之间的关系转化两个函数的交点问题，借助导数求出切线的斜率是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．