Question

5．已知双曲线C：3x²-y²=1．
（1）若直线1：y=ax+1与双曲线C相交于A、B两点，求实数a的取值范围；
（2）求以双曲线C的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆C₁的方程．

Answer 1

分析 （1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用二次项非0，且判别式大于0求得a的范围．
（2）求出双曲线C的右焦点为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），双曲线的渐近线方程，可得圆的半径，即可求出圆的方程．

解答 解：（1）直线1：y=ax+1与双曲线C，得（3-a²）x²-2ax-2=0
∵直线l与曲线C有两个交点A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-{a}^{2}≠0}\\{4{a}^{2}-4（3-{a}^{2}）×（-2）＞0}\end{array}\right.$．           
∴实数a的取值范围是-$\sqrt{6}$＜a＜$\sqrt{6}$且a$≠±\sqrt{3}$；
（2）双曲线C的右焦点为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
圆心到双曲线的渐近线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{3+1}}$=1，
∴以双曲线C的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆C₁的方程为（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+y²=1．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．