Question

14．已知直线l的方程为mx-y+1-m=0，圆C的方程为x²+（y-1）²=5．
（1）设直线l与圆C交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）已知D（-2，0），E（2，0）为x轴上的两点，若圆C内的动点P使|PD|、|PO|、|PE|成等比数列，求$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AB中点M（x，y），当AB斜率存在时，由K_AB•K_CM=-1，可得$\frac{y-1}{x-1}$×$\frac{y-1}{x-0}$=-1，化简可得AB中点M的轨迹方程；当AB的斜率不存在时，点M的坐标也满足此轨迹方程，从而得出结论．
（2）根据圆内的动点P使|PD|、|PO|、|PE|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．

解答 解：（1）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
再由 K_AB=K_MH=$\frac{y-1}{x-1}$，K_CM=$\frac{y-1}{x-0}$，
∴$\frac{y-1}{x-1}$×$\frac{y-1}{x-0}$=-1，化简可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
即AB中点M的轨迹方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
（2）设P（x，y），由|PD|、|PO|、|PE|成等比数列，得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=x²+y²，
即x²-y²=2．
$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于点P在圆O内，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-1）^{2}＜5}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
由此得y²-y-1＜0，解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜y＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
所以$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范围为[-2，1+$\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．