Question

17．过抛物线C：y²=2x的焦点F，且斜率为k（k＞0）的直线l交C于R，S两点，若$\overrightarrow{RF}$=2$\overrightarrow{FS}$，则k的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图，设R，S两点的抛物线的准线上的射影分别为P，Q，过S作PR的垂SG，在三角形RSG中，∠SRG等于直线RS的倾斜角，其正切值即为k值，然后利用抛物线定义结合求解直角三角形求出直线RS的斜率得答案．

解答 解：如图，设R，S两点的抛物线的准线上的射影分别为P，Q，
过S作PR的垂线SG，
在三角形RSG中，∠SRG等于直线RS的倾斜角，其正切值即为k，
设|SF|=n，∵$\overrightarrow{RF}$=2$\overrightarrow{FS}$，
∴|RF|=2|SF|，∴|RF|=2n，
根据抛物线的定义得：|PR|=2n，|SQ|=n，
∴|RG|=n，
在直角三角形RSG中，tan∠SRG=$\frac{|SG|}{|GR|}$=$\frac{\sqrt{9{n}^{2}-{n}^{2}}}{n}$=$2\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要注意抛物线定义的灵活运用，是中档题．