Question

15．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为1，D是BC上一点，AD⊥C₁D，以A为坐标原点，平面ABC内AC的垂线，AC，AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点D的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，0），平面ADC₁的一个法向量为（$\sqrt{3}$，-1，1）．

Answer 1

分析 根据题意，利用空间直角坐标系中三棱柱的边角关系，写出点D的坐标，
再根据平面法向量的定义列出方程组求出平面的一个法向量．

解答 解：在空间直角坐标系A-xyz中，A（0，0，0），C（0，1，0），
A₁（0，0，1），C₁（0，1，1）；
由AD⊥C₁D，得出AD⊥侧面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC，D为BC的中点，
∴点D的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos60°，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin60°，0），
即（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，0）；
设平面ADC₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AC}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}x+\frac{3}{4}y=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，得z=1，x=$\sqrt{3}$，
∴法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，1）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，0），（$\sqrt{3}$，-1，1）．

点评 本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了利用坐标法求平面的法向量问题，是综合性题目．