Question

10．已知cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），求tan2（α-β）的值．

Answer 1

分析 根据同角三角函数间的基本关系，求出tanα=$\frac{4}{3}$，tanβ=1，再根据正切的和差公式，求出tan（α-β），再根据tan2（α-β）=$\frac{2tan（α-β）}{1-ta{n}^{2}（α-β）}$，得到答案．

解答 解：∵cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\frac{4}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tanα=$\frac{4}{3}$，tanβ=1，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}-1}{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{7}$，
∴tan2（α-β）=$\frac{2tan（α-β）}{1-ta{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{\frac{2}{7}}{1-\frac{1}{49}}$=$\frac{7}{24}$

点评 此题考查了二倍角的正切公式，同角三角函数间的基本关系，两角和差的正切公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．