Question

18．已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1（x∈R）
（Ⅰ）若角α的终边经过点P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求f（α）的值；
（Ⅱ）函数f（x）的图象可以由函数y=$\sqrt{2}$sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到的．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），可取α=$\frac{3π}{4}$，代值计算可得；
（Ⅱ）由三角函数图象变换的规律，逐步变换可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：
f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1
=2cos²x-1+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵角α的终边经过点P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），故可取α=$\frac{3π}{4}$，
故f（α）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$=-1；
（Ⅱ）先把函数y=$\sqrt{2}$sinx的图象左移$\frac{π}{4}$个单位得到y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象，
再纵坐标不变横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$的到y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象，即函数f（x）的图象．

点评 本题考查三角函数图象的变换，涉及和差角的三角函数公式，属基础题．