Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M-AC-B的大小为β，求sinαcosβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结OM，推导出OM∥PB，由此能证明PB∥平面ACM．
（2）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，推导出∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角，从而求出sinα=$\frac{MN}{AM}=\frac{2}{3}$，取AO的中点R，连结NR，MR，则∠MRN为二面角M-AC-B的补角，即为π-β．从而得到cos（π-β）=-cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出sinαcosβ．

解答 证明：（Ⅰ）连结OM，在△PBD中，
∵O为AC的中点，M为PD的中点．∴OM∥PB，
∵OM?平面ACM，PB?平面ACM，
∴PB∥平面ACM；（4分）
解：（2）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，
∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角．
∵MN=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ADO中，∵DO=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AN=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
在Rt△AMN中，AM=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{4}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinα=$\frac{MN}{AM}=\frac{2}{3}$，（8分）
取AO的中点R，连结NR，MR，
∵NR∥AD，∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD，
由三垂线定理知MR⊥AO，故∠MRN为二面角M-AC-B的补角，即为π-β．
∵NR=$\frac{1}{2}$，MN=$\frac{1}{2}$，∴cos（π-β）=-cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，（11分）
∴sinαcosβ=$\frac{2}{3}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．