Question

4．（1）若tanα=3tan$\frac{π}{5}$，求$\frac{{cos（α-\frac{3π}{10}）}}{{sin（α-\frac{π}{5}）}}$的值；
（2）已知sin（α+$\frac{π}{3}}$）+sinα=$\frac{{5\sqrt{3}}}{13}$，求cos（α+$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数化简表达式，代入已知条件化简求解即可．
（2）利用两角和与差的三角函数化简求解即可．

解答 解：（1）tanα=3tan$\frac{π}{5}$，$\frac{{cos（α-\frac{3π}{10}）}}{{sin（α-\frac{π}{5}）}}$=$\frac{cosαcos\frac{3π}{10}+sinαsin\frac{3π}{10}}{sinαcos\frac{π}{5}-cosαsin\frac{π}{5}}$=$\frac{cos\frac{3π}{10}+tanαsin\frac{3π}{10}}{tanαcos\frac{π}{5}-sin\frac{π}{5}}$
=$\frac{sin\frac{π}{5}+3tan\frac{π}{5}cos\frac{π}{5}}{3tan\frac{π}{5}cos\frac{π}{5}-sin\frac{π}{5}}$=2
（2）sin（α+$\frac{π}{3}}$）+sinα=$\frac{{5\sqrt{3}}}{13}$，可得：$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+sinα=$\frac{{5\sqrt{3}}}{13}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα=$\frac{5}{13}$．
cos（$\frac{π}{3}-α$）=$\frac{5}{13}$，
∴cos（α+$\frac{2π}{3}$）=cos（π-$\frac{π}{3}+α$）=-cos（$\frac{π}{3}-α$）=-$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．