Question

11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（1）求A的值；
（2）若a=3，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知和正弦定理可得a²=b²+c²+bc，再由由余弦定理可得cosA，可得A值；
（2）由（1）和基本不等式可得a²=b²+c²+bc=（b+c）²-bc≥（b+c）²-$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，代值解关于b+c的不等式可得．

解答 解：（1）由题意可得2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
由正弦定理可得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
变形可得a²=b²+c²+bc，由余弦定理可得-2cosA=1
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由（1）和基本不等式可得a²=b²+c²+bc=（b+c）²-bc
≥（b+c）²-$（\frac{b+c}{2}）^{2}$=$\frac{3}{4}$（b+c）²
∴（b+c）²≤$\frac{4}{3}$a²=12，∴b+c≤2$\sqrt{3}$，
当且即当b=c=$\sqrt{3}$时取等号，
∴b+c的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理，涉及基本不等式求最值，属中档题．