Question

18．设{a_n}是各项均不相等的数列，S_n为它的前n项和，满足λna_n+1=S_n+1（n∈N⁺，λ∈R）．
（1）若a₁=1，且a₁，a₂，a₃成等差数列，求λ的值；
（2）若{a_n}的各项均不相等，问当且仅当λ为何值时，a₂，a₃，…，a_n，…成等差数列？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2即可列方程解出λ；
（2）根据条件可得$\frac{λ}{1-λ}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}$，故只需令$\frac{λ}{1-λ}$=1即可得出得出λ=$\frac{1}{2}$，再验证λ=$\frac{1}{2}$时，数列成等差数列即可．

解答 解：（1）令n=1，2，得$\left\{\begin{array}{l}λ{a_2}={a_1}+1=2\\ 2λ{a_3}={S_2}+1={a_1}+{a_2}+1\end{array}\right.$，
又由a₁，a₂，a₃成等差数列，所以2a₂=a₁+a₃=1+a₃，
解得$λ=\frac{{3±\sqrt{5}}}{2}$．
（2）当且仅当$λ=\frac{1}{2}$时，a₂，a₃，…，a_n，…成等差数列，
证明如下：
由已知λna_n+1=S_n+1，当n≥2时，λ（n-1）a_n=S_n-1+1，
两式相减得λna_n+1-λna_n+λna_n+λa_n=a_n，即λn（a_n+1-a_n）=（1-λ）a_n，
由于{a_n}个各项均不相等，所以$\frac{λn}{1-λ}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}，（n≥2）$，
当n≥3时，所以$\frac{λ（n-1）}{1-λ}=\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}$
两式相减可得$\frac{λ}{1-λ}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}$，
①当$λ=\frac{1}{2}$，n≥3时，$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}$+1，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，即2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥3），
故a₂，a₃，…，a_n，…成等差数列．
②再证当a₂，a₃，…，a_n，…成等差数列时，$λ=\frac{1}{2}$，
∵a₂，a₃，…，a_n，…成等差数列，
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥3），可得$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}=\frac{a_n}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}=1=\frac{λ}{1-λ}$，
所以$λ=\frac{1}{2}$，
所以当且仅当$λ=\frac{1}{2}$时，a₂，a₃，…，a_n，…成等差数列．

点评 本题考查了等差数列的性质与判断，属于中档题．