Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=n²+cn（c∈R，n=1，2，3，…）．且S₁，

S2

2

，

S3

3

成等差数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

n2+cn

n(n+1)

（n=1，2，3，），

S2

2

-

S1

1

=

S3

3

-

S2

2

．所以

1+c

2

=

4+2c

6

．由此可得c=1．
（Ⅱ）由题意知

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1（n=1，2，3，）．所以数列{

Sn

n

}为首项是

S1

1

，公差为1的等差数列．由此可推出a_n=2n-1（n=1，2，3，）．

解答：解：（Ⅰ）∵nS_n+1-（n+1）S_n=n²+cn（n=1，2，3，），
∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

n2+cn

n(n+1)

（n=1，2，3，）．（1分）
∵S₁，

S2

2

，

S3

3

成等差数列，
∴

S2

2

-

S1

1

=

S3

3

-

S2

2

．（3分）
∴

1+c

2

=

4+2c

6

．（5分）
∴c=1；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1（n=1，2，3，）．
∴数列{

Sn

n

}为首项是

S1

1

，公差为1的等差数列．（8分）
∴

Sn

n

=

S1

1

+(n-1)•1=n．
∴S_n=n²．（10分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（12分）
当n=1时，上式也成立．（13分）
∴a_n=2n-1（n=1，2，3，）．

点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选取．