Question

【题目】设函数f（x）=emx+x2-mx
（1）（I）证明：f（x）在（-，0）单调递减，在（0，+）单调递增；
（2）（II）若对于任意x1 ， x2[-1,1],都有|f（x1）-f（x2）|e-1，求m的取值范围。

Answer 1

【答案】
（1）

证明：（I）f‘（x）=m（emx-1）+2x

若m0，则当x（-，0）时，emx-10，f‘（x）0；当x（0，+）时，emx-10，f‘（x）0.

若m0，则当x（-，0）时，emx-10，f‘（x）0’；当当x（0，+）时，emx-10，f‘（x）0.

所以，f（x）在（-，0）单调递减，在（0，+）单调递增

（2）

【解答】由（I）知，对任意的m，f（x）在[-1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值。所以对于任意x1,x2[-1,1]，|f（x1）-f（x2）|e-1的充要条件是：，即①,设函数g（t）=,则g‘（t）=et-1，当t0时，g（t）0，当t0时，g（t）0

故g（t）在（-，0）单调递减，在（0，+）单调递增

又g（1）=0，g（-1）=,故当t[-1,1]时，g（t）0，当m[-1,1]时，g（m）0，g（-m）0，即①成立。

当m1时，由g（t）的单调性，g（m）0，即,当m-1时，g（-m）0，即,

综上，m的取值范围是[-1,1].

【解析】(Ⅰ)先求导函数f‘（x）=m（emx-1）+2x，根据m的范围讨论导函数在（-，0）和（0，+）的符号即可；
（II）|f（x1）-f（x2）|e-1恒成立，等价于|f（x1）-f（x2）|maxe-1。由x1：x2是两个独立的变量，故可求研究f（x）的值域，由（I）可得最小值为f（0）=1，最大值可能是f（-1）或f（1），故只需,从而得关于m的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解。
【考点精析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)．