Question

【题目】(2015·湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2:(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦长为2，过点F的直线l与C1相交于A, B两点，与C2相交于C,D两点，且 与 同向.
（1）求C2的方程
（2）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

【解析】（I）由C1：x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2-b2=1 ①； 又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为C1：x2=4y，由此易知C2的公共点的坐标为(, )，所以 ②，
联立①②得a2=9, b2=8，故C2的方程为。
（II）如图，设A(x1,y1) B(x2, y2) C(x3, y3) D(x4, y4) )

因 与 同向，且 ③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，
由得x2-4kx-4=0，由x1, x2是这个方程的两根，x1+x2=4k, x1x2=-4④
由得(9+8k2)x2+16kx-64=0，而x3, x4是这个方程的两根，
x3+x4=, x3x4=⑤
将④、⑤代入③，得16(k2+1)=+。即16(k2+1)=
所以(9+8k2)2=16x9，解得k=，即直线l的斜率为
【考点精析】本题主要考查了直线的斜率的相关知识点，需要掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα才能正确解答此题．