Question

18．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）．一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），由题意求出a，b，c，由此能求出该椭圆的离心率．

解答 解：不妨设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{2a=2a-4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得a=8，b=2，c=$\sqrt{64-4}$=2$\sqrt{15}$，
∴该椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{15}}{8}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案为$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于基础题．