Question

如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．

∥，，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在点，使// 平面？

若存在，求出；若不存在，说明理由．

Answer 1

如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．

∥，，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在点，使// 平面？

若存在，求出；若不存在，说明理由．

解：（1）证明：取中点，连结，．

因为，所以．                           

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以．  

所以平面．     所以 ．       

 

（2）解法1：因为平面平面，且

所以BC⊥平面

则即为直线与平面所成的角

设BC=a，则AB=2a，，所以

则直角三角形CBE中，

即直线与平面所成角的正弦值为．             

解法2：因为平面平面，且 ，

所以平面，所以．

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，

则．

所以 ，平面的一个法向量为．

设直线与平面所成的角为，

所以 ，           

即直线与平面所成角的正弦值为．     

（3）解：存在点，且时，有// 平面．       

证明如下：由 ，，所以．

设平面的法向量为，则有

所以   取，得．

因为 ，且平面，所以 // 平面．

即点满足时，有// 平面．