Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

(1)求证：OD∥平面PAB；

(2)时，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值；

(3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer 1

答案：略
解析：

(1)证明：∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD∥PA． 又∵PA平面PAB ∴OD∥平面PAB (2)解：∵AB⊥BC，OA=OC， ∴OA=OA=OC 又∵OP⊥平面ABC， ∴PA=PB=PC． 取BC中点E，连结PE．则BC⊥平面POE． 作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC． ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．又OD∥PA， ∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF．在Rt△ODF中， ． (3)解由(2)知，OF⊥平面PBC， ∴F是O在平面PBC内的射影． ∵D是PC的中点，若点F是△PBC的重心，则B、F、D三点共线． ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD． ∵OD⊥PC，∴PC⊥BD． ∴PB=BC，即k=1． 反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．