Question

11．已知x，y∈[0，π]，则cos（x+y）+cosx+2cosy的最小值为-2.25．

Answer 1

分析 利用两角和与差的公式以及辅助角公式，通过三角函数的有界限可得答案．

解答 解：令S=cos（x+y）+cosx+2cosy
=cosxcosy-sinxsiny+cosx+2cosy
=cosx+（cosx+2）cosy-sinxsiny
=cosx+$\sqrt{5+4cosx}sin（y+$θ）
∴S≥cosx-$\sqrt{5+4cosx}$
令：t=$\sqrt{5+4cosx}$，3≥t≥1，则cosx=${\frac{1}{4}（t}^{2}-5）$
故S≥${\frac{1}{4}（t}^{2}-5）$-t=$\frac{1}{4}（t-2）^{2}-\frac{9}{4}$，（3≥t≥1）
当t=2时，S取得最小值为：$-\frac{9}{4}$．
∴即cos（x+y）+cosx+2cosy的最小值为：$-\frac{9}{4}$．
故答案为：-2.25．

点评 本题考察了利用两角和与差的公式以及辅助角公式，三角函数的有界限的运用．属于中档题．