Question

1．已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在R上是奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）若f（1）=-$\frac{2}{3}$，求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由于f（x）+f（y）=f（x+y），分别令x=y=0，可求得f（0）=0，再令y=-x，即可证得f（x）在R上是奇函数；
（2）任取x₁＞x₂，利用单调函数的定义法，作差f（x₁）-f（x₂）后转化，利用x＞0时，f（x）＜0即可证得f（x）在R上是减函数；
（3）利用（1）（2）知，奇函数f（x）为R上的减函数，再利用f（1）=-$\frac{2}{3}$，即可求得f（x）在[-3，3]上的最大值为与最小值

解答 （1）证明：∵函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x得f（-x）=-f（x），
∴f（x）在R上是奇函数；
（2）证明：在R上任取x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
∵x＞0时，f（x）＜0，f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数．
（3）解：∵f（x）是R上减函数，∴f（x）在[-3，3]上也是减函数，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f（-3）和f（3），
而f（3）=3f（1）=-2，f（-3）=-f（3）=2，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的判定，突出考查赋值法，考查运算能力，属于中档题．