Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx-a{x^2}，x≥1\\{a^x}，x＜1\end{array}$是减函数，则a的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}]$
• B． （0，1）
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $[\frac{1}{2}，1）$

Answer 1

分析 根据函数f（x）的单调性得到2a≥$\frac{1+lnx}{x}$，设h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：∵f（x）是减函数，∴0＜a＜1，
当x≥1时，f′（x）=1+lnx-2ax≤0，
2a≥$\frac{1+lnx}{x}$，设h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，
则h′（x）=$\frac{-lnx}{x^2}$=0，x=1，
故h（x）在x=1处取得最大值1，
2a≥1，a≥$\frac{1}{2}$，
又a＞f（1）=-a，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．