Question

2．电视台与某广告公司签约播放两部影片集，其中影片集甲每集播放时间为19分钟（不含广告时间，下同），广告时间为1分钟，收视观众为60万；影片集乙每集播放时间为7分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有7分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间（含广告时间）．
（Ⅰ）问电视台每周应播放两部影片集各多少集，才能使收视观众最多；
（Ⅱ）在获得最多收视观众的情况下，影片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b（万元）的效益，若广告公司本周共获得3万元的效益，记S=$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$为效益调和指数（单位：万元），求效益调和指数的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设片集甲乙分别播放x，y集，由条件可得不等式组和目标函数，作出可行域，求得最优解；
（Ⅱ）由题意得：2a+5b=3，则S=$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$=$\frac{1}{3}$（2a+5b）（$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$）=$\frac{1}{3}$（82+$\frac{20a}{b}$+$\frac{80b}{a}$），运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）设片集甲乙分别播放x，y集，
由题意得到，$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥7}\\{20x+8y≤80}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$，
要使收视观众最多，
只要z=60x+20y最大即可，作出可行域，如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\{20x+8y=80}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，所以满足题意的最优解为（2，5），
z_max=60×2+20×5=220，
故电视台每周片集甲播出2集，片集乙每周播出5集，其收视观众最多；
（Ⅱ）由题意得：2a+5b=3，
则S=$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$=$\frac{1}{3}$（2a+5b）（$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$）=$\frac{1}{3}$（82+$\frac{20a}{b}$+$\frac{80b}{a}$）
≥$\frac{1}{3}$（82+2$\sqrt{\frac{20a}{b}•\frac{80b}{a}}$）=54，
当且仅当a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$时取等号，所以效益调和指数的最小值为54万元．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，考查基本不等式的运用，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．